向量空间，赋范空间和内积空间

向量空间

在公理化定义向量空间之前，我们先来公理化定义数域。我们接触过的数域有，实数域$R$，复数域$C$。在一个数域上，我们可以对数进行加减乘除运算，其运算结果仍然在该数域当中。其严格表述可表达为：

域是定义在集合$F$上，以及包含加法和乘法运算，且加法乘法运算对于该集合封闭。同时加法的单位元$0$元素，不等于乘法的单位元$1$元素。且所有非$0$元素有乘法逆元。

很显然，实数，复数都属于域。

对于一个数域$F$，取其元素构成向量$V$，满足向量公理，即结合律，交换律，加法单位元，加法逆元，标量乘法单位元，标量乘法对加法的分配律，标量乘法对域加法的分配律，则其构成了向量空间。

例如，三维几何空间就是一个向量空间。其$x,y,z$是定义在实数域上的数，向量$(x,y,z)$亦满足了向量空间的定义。

多项式空间

我们将形如$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ...+a_0$的函数成为多项式。很显然对于多项式函数，满足

1. 结合律：$((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)$
2. 交换律：$(f+g)(x)=(g+f)(x)$
3. 加法单位元：$f(x) = 0$
4. 加法逆元：$-f(x)=\sum^n_{i=0}-a_ix^i$
5. 标量乘法单位元：1
6. 标量乘法对加法的分配律：$a(f+g)(x)=af(x)+ag(x)$
7. 标量乘法对域加法的分配律：$(a+b)f(x)=af(x)+bf(x)$

因此，我们可以将所有多项式构成的整体看作是一个向量空间，而多项式则是该向量空间中的向量。

范数

对于一个平面向量，我们用向量的模来表示向量的长度，最简单向量长度可以用欧几里得空间的距离来定义（即广义勾股定理）。那么我们现在来扩展模的概念。

向量空间$V$上的范数$p$是一个函数，满足：

1. $p(\boldsymbol{v}) \gt 0,p(\boldsymbol{0})=0$（正定性），$\boldsymbol{v}$是向量空间中的一个向量，在这里为非零向量
2. $p(a\boldsymbol{v})=|a|p(\boldsymbol{v})$（绝对一次齐次性）
3. $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \le p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v})$（三角不等式）

范数使用$||$标记，如$||\boldsymbol{v}||$。

很显然，欧式空间中的向量的模即为一种范数。

赋范向量空间

如果一个向量空间拥有一个范数（即满足上述3个性质的函数，并且将向量空间中的一个向量映射到一个标量），那么这个向量空间即成为赋范向量空间。

很显然，欧氏几何构成的向量空间是一个赋范向量空间。其范数为广义勾股定理的空间距离。

内积空间

对于向量空间的两个向量，其内积相当于将每一个坐标轴相乘，然后相加。比如$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$的内积为$x_1 * x_2 + y_1 * y_2$。对于广义的向量空间，内积是一个函数，其变量为向量空间中的两个向量，其输出为定义向量空间的数域，对于向量$u, v \in V$，内积用$(u, v)$表示，其满足：

1. 共轭向量内积相等
2. $(au, v) = a(u, v)$
3. $(u+v, w) = (u, w) + (v, w)$
4. $(u, u) \gt 0$, 当且仅当$u = 0$时，$(u, u)=0$

同时，如果$(u, v) = 0$，则称向量$u$，$v$正交，即广义的垂直。