向量空间,赋范空间和内积空间
在公理化定义向量空间之前,我们先来公理化定义数域。我们接触过的数域有,实数域R,复数域C。在一个数域上,我们可以对数进行加减乘除运算,其运算结果仍然在该数域当中。其严格表述可表达为...

向量空间
在公理化定义向量空间之前,我们先来公理化定义数域。我们接触过的数域有,实数域$R$,复数域$C$。在一个数域上,我们可以对数进行加减乘除运算,其运算结果仍然在该数域当中。其严格表述可表达为:
域是定义在集合$F$上,以及包含加法和乘法运算,且加法乘法运算对于该集合封闭。同时加法的单位元$0$元素,不等于乘法的单位元$1$元素。且所有非$0$元素有乘法逆元。
很显然,实数,复数都属于域。
对于一个数域$F$,取其元素构成向量$V$,满足向量公理,即结合律,交换律,加法单位元,加法逆元,标量乘法单位元,标量乘法对加法的分配律,标量乘法对域加法的分配律,则其构成了向量空间。
例如,三维几何空间就是一个向量空间。其$x,y,z$是定义在实数域上的数,向量$(x,y,z)$亦满足了向量空间的定义。
多项式空间
我们将形如$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ...+a_0$的函数成为多项式。很显然对于多项式函数,满足
- 结合律:$((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)$
- 交换律:$(f+g)(x)=(g+f)(x)$
- 加法单位元:$f(x) = 0$
- 加法逆元:$-f(x)=\sum^n_{i=0}-a_ix^i$
- 标量乘法单位元:1
- 标量乘法对加法的分配律:$a(f+g)(x)=af(x)+ag(x)$
- 标量乘法对域加法的分配律:$(a+b)f(x)=af(x)+bf(x)$
因此,我们可以将所有多项式构成的整体看作是一个向量空间,而多项式则是该向量空间中的向量。
范数
对于一个平面向量,我们用向量的模来表示向量的长度,最简单向量长度可以用欧几里得空间的距离来定义(即广义勾股定理)。那么我们现在来扩展模的概念。
向量空间$V$上的范数$p$是一个函数,满足:
- $p(\boldsymbol{v}) \gt 0,p(\boldsymbol{0})=0$(正定性),$\boldsymbol{v}$是向量空间中的一个向量,在这里为非零向量
- $p(a\boldsymbol{v})=|a|p(\boldsymbol{v})$(绝对一次齐次性)
- $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \le p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v})$(三角不等式)
范数使用$||$标记,如$||\boldsymbol{v}||$。
很显然,欧式空间中的向量的模即为一种范数。
赋范向量空间
如果一个向量空间拥有一个范数(即满足上述3个性质的函数,并且将向量空间中的一个向量映射到一个标量),那么这个向量空间即成为赋范向量空间。
很显然,欧氏几何构成的向量空间是一个赋范向量空间。其范数为广义勾股定理的空间距离。
内积空间
对于向量空间的两个向量,其内积相当于将每一个坐标轴相乘,然后相加。比如$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$的内积为$x_1 * x_2 + y_1 * y_2$。对于广义的向量空间,内积是一个函数,其变量为向量空间中的两个向量,其输出为定义向量空间的数域,对于向量$u, v \in V$,内积用$(u, v)$表示,其满足:
- 共轭向量内积相等
- $(au, v) = a(u, v)$
- $(u+v, w) = (u, w) + (v, w)$
- $(u, u) \gt 0$, 当且仅当$u = 0$时,$(u, u)=0$
同时,如果$(u, v) = 0$,则称向量$u$,$v$正交,即广义的垂直。