向量空间,赋范空间和内积空间

在公理化定义向量空间之前,我们先来公理化定义数域。我们接触过的数域有,实数域R,复数域C。在一个数域上,我们可以对数进行加减乘除运算,其运算结果仍然在该数域当中。其严格表述可表达为...

向量空间,赋范空间和内积空间

向量空间

在公理化定义向量空间之前,我们先来公理化定义数域。我们接触过的数域有,实数域$R$,复数域$C$。在一个数域上,我们可以对数进行加减乘除运算,其运算结果仍然在该数域当中。其严格表述可表达为:

域是定义在集合$F$上,以及包含加法和乘法运算,且加法乘法运算对于该集合封闭。同时加法的单位元$0$元素,不等于乘法的单位元$1$元素。且所有非$0$元素有乘法逆元。

很显然,实数,复数都属于域。

对于一个数域$F$,取其元素构成向量$V$,满足向量公理,即结合律,交换律,加法单位元,加法逆元,标量乘法单位元,标量乘法对加法的分配律,标量乘法对域加法的分配律,则其构成了向量空间。

例如,三维几何空间就是一个向量空间。其$x,y,z$是定义在实数域上的数,向量$(x,y,z)$亦满足了向量空间的定义。

多项式空间

我们将形如$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ...+a_0$的函数成为多项式。很显然对于多项式函数,满足

  1. 结合律:$((f+g)+h)(x)=(f+(g+h))(x)$
  2. 交换律:$(f+g)(x)=(g+f)(x)$
  3. 加法单位元:$f(x) = 0$
  4. 加法逆元:$-f(x)=\sum^n_{i=0}-a_ix^i$
  5. 标量乘法单位元:1
  6. 标量乘法对加法的分配律:$a(f+g)(x)=af(x)+ag(x)$
  7. 标量乘法对域加法的分配律:$(a+b)f(x)=af(x)+bf(x)$

因此,我们可以将所有多项式构成的整体看作是一个向量空间,而多项式则是该向量空间中的向量。

范数

对于一个平面向量,我们用向量的模来表示向量的长度,最简单向量长度可以用欧几里得空间的距离来定义(即广义勾股定理)。那么我们现在来扩展模的概念。

向量空间$V$上的范数$p$是一个函数,满足:

  1. $p(\boldsymbol{v}) \gt 0,p(\boldsymbol{0})=0$(正定性),$\boldsymbol{v}$是向量空间中的一个向量,在这里为非零向量
  2. $p(a\boldsymbol{v})=|a|p(\boldsymbol{v})$(绝对一次齐次性)
  3. $p(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) \le p(\boldsymbol{u})+p(\boldsymbol{v})$(三角不等式)

范数使用$||$标记,如$||\boldsymbol{v}||$。

很显然,欧式空间中的向量的模即为一种范数。

赋范向量空间

如果一个向量空间拥有一个范数(即满足上述3个性质的函数,并且将向量空间中的一个向量映射到一个标量),那么这个向量空间即成为赋范向量空间。

很显然,欧氏几何构成的向量空间是一个赋范向量空间。其范数为广义勾股定理的空间距离。

内积空间

对于向量空间的两个向量,其内积相当于将每一个坐标轴相乘,然后相加。比如$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$的内积为$x_1 * x_2 + y_1 * y_2$。对于广义的向量空间,内积是一个函数,其变量为向量空间中的两个向量,其输出为定义向量空间的数域,对于向量$u, v \in V$,内积用$(u, v)$表示,其满足:

  1. 共轭向量内积相等
  2. $(au, v) = a(u, v)$
  3. $(u+v, w) = (u, w) + (v, w)$
  4. $(u, u) \gt 0$, 当且仅当$u = 0$时,$(u, u)=0$

同时,如果$(u, v) = 0$,则称向量$u$,$v$正交,即广义的垂直。